第99章提前获得教授职称(第 4/4 页)

    解：(1)f’(x)=a-b/x^2，

    ∵f’(1)=a-b=1，∴b=a-1.

    又f(1)=a+b+c=2a+c-1，

    将(1，2a+c-1)代入y=x-1得， 2a+c-1=0，

    ∴c=1-2a.

    由(1)得f(x)=ax+(a-1)/x-2a+1 (a＞0)，

    当ax+(a-1)/x-2a+1-lnx≥0时，成立.

    不等式可转化为：a(x-1)^2≥xlnx-x+1.

    当x=1时，不等式成立（左右两边相等），从而结论成立；

    当……

    记h(x)=(xlnx-x+1)/(x-1)2，则

    则h’(x)=)=(2(x-1)-(x+1)lnx)/(x-1)^3。

    “同学们这里运用了商的求导公式，需要仔细化简，大家注意听。”

    ∵lnx≥2(x-1)/(x+1)，(x≥1)

    “大家看好，这是这道题最关键的一步，这是一个关于lnx的不等式，这个不等式并不太常用，一定要好好掌握起来。”

    ∴h’(x)≤0。

    【将lnx缩放成2(x-1)/(x+1)，分子的减数变小，分式变大，分式化简之后等于0】

    即h(x)在[1，+∞)上单调减.

    “因为h(1)不存在，所以h(x)在[1，+∞)的最大值在无限接近x=1的地方，因此要用极限求这个最大值。”

    “大家，都听明白了吗？”