第234 落入山洞(第 2/3 页)

      g 是连通的，但是如果去掉任意一条边，就不再连通。

      g 是连通的，并且3顶点的完全图?不是g的子图。

      g内的任意两个顶点能被唯一路径所连通。

      如果无向简单图g有有限个顶点（设为n个顶点），那么g 是一棵树还等价于：

      g是连通的，有n ? 1条边，并且g没有简单回路。

      如果一个无向简单图g中没有简单回路，那么g是森林。

      性质

      一棵树中每两个点之间都有且只有一条路径（指没有重复边的路径）。一颗有n个点的树有n-1条边，也就是连接n个点所需要的最少边数。所以如果去掉树中的一条边，树就会不连通。

      如果在一棵树中加入任意的一条边，就会得到有且只有一个环的图。这是因为这条边连接的两个点（或是一个点）中有且只有一条路径，这条路径和新加的边连在一起就是一个环。如果把一个连通图中的多余边全部删除，所构成的树叫做这个图的生成树。

      如果要在树中加入一个点，就要加入一条这个点和原有的点相连的边。这条边不会给这棵树增加一个环或者多余的路径。所以每次这样加入一个点，就可以构成一棵树。

      一棵树既可以是有向的也可以是无向的。显然，树是连通图，但不会是双连通图（对于无向图）或者强连通图（对于有向图）。树可以算是稀疏图。

      显然树中也没有自环和重复边。

      有根树

      在一棵树中可以指定一个特殊的节点：根。一个有根的树叫做有根树。

      有根树中的节点可以根据到根的距离分层。一颗有根树的层数叫做这棵树的高度。节点最多的那一层的节点数叫做这棵树的宽度。对于有根树，每条边都有一个特殊的方向：指向根节点的方向，或者说上一层的方向（或者相反的，指向叶节点的方向，下一层的方向）。一条边的两个端点中，靠近根的那个节点叫做另一个节点的父节点（也叫父亲、双亲、双亲节点），相反的，距离根比较远的那个节点叫做另一个节点的子节点（也可以叫孩子，儿子，子女等）。父亲方向的所有节点都叫做这个节点的祖先，儿子方向的所有节点都叫做这个节点的子孙。没有子节点的子节点叫做叶节点（或者叶子节点）。由于到根的路径只有一条，根节点以外的节点的父节点永远只有一个，祖先就是这个点到根的路径上的所有节点（包括根，不包括这个节点本身）。另外，以一个节点为根的树是指包括这个节点和其所有子孙，并以这个节点为根的树。由于一般不需要这以外的子树，每一个节点也可以对应到一个以其为根的树，一个节点的子树通常也是指以这个节点的子节点为根的树。

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