第七十一幕.莱纳的数学教室（下）(第 3/3 页)

    最终，椭圆在引入极坐标之后得到了一个公式r=e/（1-e*cosθ），e=b^2/a，e=c/a，a是椭圆的长轴的一般，而b则是短轴的一半，而c则是两个焦点之间的距离。

    “这两个公式，很像。”

    丹娜意识到了一些问题，但却没办法得出结论。

    没有等待她们仔细思考，莱纳又开始推导双曲线的极坐标方程。

    双曲线是到两个定点的距离之差的绝对值等于常数，且小于两个点之间距离的点的集合，莱纳已经推导了抛物线和椭圆的极坐标方程，因此很快就得到了双曲线的极坐标方程。

    r=e/（1-e*cosθ）。

    这三个方程的形式惊人地一致，让克莱尔与丹娜惊讶得说不出话。

    “实际上，我们可以假设抛物线也存在一个e，只不过这个e的值是1，而焦点与长短轴的长度也能统一，这样来看，椭圆，双曲线，抛物线实际上可以用同一个极坐标方程表示，而决定它们不同的便是这个e，我定义其为离心率。”

    看着黑板上三个迥然不同的曲线与一大串推导公式，莱纳说道。

    “当离心率小于1，那么便是双曲线，当离心率大于1，则是椭圆，而当离心率等于1，便是抛物线，当离心率等于0，那么这便是一个正圆。”

    他的结论看似难以接受，但一步步的推导过程却又是如此明晰，克莱尔与丹娜挑不出任何毛病。

    “由此，我们可以证明这几种曲线其实是同一种曲线在不同情况下的变化，同时给这几种曲线下一个更加精简且统一的定义：平面上，与一个定点的距离与一条定直线的距离的比值为常数的点的集合，这个常数便是离心率e！”

    放下粉笔，莱纳轻声说道。

    “证明完毕。”