第三百五十章 搞定毕业论文(第 3/4 页)

    这是除了直接推导证明法之外最常用的证明方法，面对许多猜想时非常重要。

    尤其是……在证明某个猜想不成立时！

    但程诺现在当时不是要寻找反例，证明bertrand  假设不成立。

    切尔雪夫已然证明这一假设的成立，使用反证法，无非是将证明步骤进行简化。

    程诺自信满满。

    第一步，用反证法，假设命题不成立，即存在某个  n  ≥  2，在  n  与  2n  之间没有素数。

    第二步，将(2n)!/(n!n!)的分解(2n)!/(n!n!)=Π  ps(p)(s(p)为质因子  p  的幂次。

    第三步，由推论5知  p  <  2n，由反证法假设知  p  ≤  n，再由推论3知  p  ≤  2n/3，因此(2n)!/(n!n!)=Πp≤2n/3  ps(p)。

    ………………

    第七步，利用推论8可得：(2n)!/(n!n!)≤Πp≤√2n  ps(p)·Π√2n<p≤2n/3  p  ≤Πp≤√2n  ps(p)·Πp≤2n/3  p！

    思路畅通，程诺一路写下来，不见任何阻力，一个小时左右便完成一半多的证明步骤。

    连程诺本人，都惊讶了好一阵。

    原来我现在，不知不觉间已经这么厉害了啊！！！

    程诺叉腰得意一会儿。

    随后，便是低头继续苦逼的列着证明公式。

    第八步，由于乘积中的第一组的被乘因子数目为√2n  以内的素数数目，即不多于√2n/2  -  1  (因偶数及  1  不是素数)……由此得到：(2n)!/(n!n!)<(2n)√2n/2-1  ·  42n/3。

    第九步，(2n)!/(n!n!)是(1+1)2n  展开式中最大的一项，而该展开式共有  2n  项(我们将首末两项  1  合并为  2)，因此(2n)!/(n!n!)≥  22n  /  2n  =  4n  /  2n。两端取对数并进一步化简可得：√2n  ln4  <  3  ln(2n)。

    下面，就是最后一步。

    由于幂函数√2n  随  n  的增长速度远快于对数函数  ln(2n)，因此上式对于足够大的  n  显然不可能成立。

    至此，可说明，  bertrand  假设成立。

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