第四百四十四章 素数无限的证法(第 3/3 页)

    程诺打了响指，笑呵呵的开口说道，“其实这个序列你们应该都听说过，数学家哥德巴赫在给数学家欧拉的一封信中，提到了一个完全由费马数：fn = 2^2^n + 1 (n = 0， 1，...)组成的序列这个概念，通过fn - 2 = f0f1···fn-1这个公式，可以证明费马数之间是彼此互素的。”

    “以上，利用费马数组成的序列，就可以轻松得到素数无限的一个证明法。”程诺语气停顿了一下，开口说道，“下面我说第二个。”

    “等一下！”一位队友大声叫停了程诺，急忙从背后的书包里拿出一摞草稿纸，将程诺提出的第一个证明法记下以后，才不好意思的对程诺说道，“你继续吧。”

    他这么大声，自然引起了旁边许多学校的注意。

    于是当众人看到剑桥大学这边两位天资横溢的博士生，此时却宛若小学生一般，仰着头期待着那边程诺讲话，皆是一脸的疑惑之色。

    但时间紧迫，众人的视线只是在剑桥大学的队伍上停留了几秒时间，便匆匆接着自己的埋头苦算。

    “呃，那我接着说。”程诺接着说道，“我第二个想出的办法是利用素数的分布进行求证。”

    “法国数学家阿达马和比利时数学家瓦莱-普森于 1896 年证明的素数定理中指出，n 以内的素数个数π(n)的渐近分布为π(n)~ n/ln(n)，n/ln(n)随 n 趋于无穷……”

    “……由上，可得知对任意正整数 n ≥ 2，至少存在一个素数 p 使得 n < p < 2n。”程诺边说，一旁那位队友便在纸上唰唰的记着，双眼中满是掩饰不住的兴奋之色。

    本以为程诺能提出一个新方向的证明方法，已经是实属难得，可未曾料想，程诺一口气直接提出了两个。

    但程诺让两人的惊讶还在继续。

    程诺瞥见记录的那位队友已经记完，清了清嗓子，开口道，“再说第三个。”

    “还有？”队友诧异出声。

    “当然还有。”程诺笑呵呵的说道，望着揉着手腕的队友，“这才哪到哪！”

    “第三种，利用代数数论的知识证明。利用代数数论手段证明素数有无穷多个的出发点之一是利用所谓的欧拉φ函数。”

    “对任一正整数 n，欧拉φ函数的取值φ(n)定义为：φ(n):=不大于 n 且与 n 互素的正整数的个数。对任一素数 p，φ(p)= p - 1，这个是因为 1，...， p - 1 这 p - 1 个不大于 p 的正整数显然都跟 p 互素。”

    “然后，对两个不同的素数 p1 和 p2，φ(p1p2)=(p1 - 1)(p2 - 1)，这是因为……”